jueves, julio 28, 2016

Una decepción con Yusnier Viera joven matemático cubano y plusmarquista mundial en cálculo mental de fechas que ofrece una Matemática Picante o SpicyMath


Una decepción con Yusnier Viera joven matemático cubano y plusmarquista mundial  en cálculo mental de fechas que ofrece una Matemática Picante o SpicyMath


Por Pedro Pablo Arencibia 
27 de julio de 2016

En el día de ayer  tuve una  decepción con Yusnier Viera, joven matemático cubano y plusmarquista mundial  en cálculo mental de fechas,  cuyos records  aparecen en el libro   de records Guinness  y ha participado en  varios  programas  y series televisivas  de la televisión  en idioma Inglés y en idioma Español. Yusnier  se desempeña  como profesor en el campus de Hialeah del Miami Dade College y tiene, junto a otra(s) persona(s), la página web, Spicymath o Matemática Picante.

Mi decepción fue provocada porque coloqué en su página de facebook Yusnier Viera  la  promoción de mi libro Paradigmas psicopedagógicos y caminos de la investigación matemática en la enseñanza de la Matemática universitaria y media, ya que en su página se proponen problemas y retos de Matemática recreativa.  Me extrañó que se eliminara mi promoción la primera vez y para asegurarme que fue intencional y no un error, la coloqué nuevamente en otro comentario, la cual nuevamente fue eliminada. 

Después de haber verificado ese proceder del adminitrador de esa página personal, le dejé este comentario en la antes mencionada página de facebook:

(Yusnier Viera)

Saludos Yusnier. Soy Pedro Pablo Arencibia .Veo que has eliminado la promoción de mi libro Paradigmas psicopedagógicos y caminos del pensamiento matemático  en la enseñanza de la Matemática universitaria y media,  promoción que no afecta en nada tu actividad en esta página de facebook; quizás yo haya sido contemporáneo de estudios en la Escuela de Matemática con tu padre. Es una lástima,  pues yo en ningún momento he abordado lo desacertado que es enfocar de manera prioritaria  el cálculo mental (cualidad relevante que tú posees y que  yo quisiera poseer) cuando realmente lo más importante es estar enfocado en  el desarrollo de las líneas del pensamiento creativo matemático,  los cuales abordo en mi libro. Leonard Euler tenía una pasmosa rapidez en el cálculo mental, pero lo que lo inmortalizó fue su pensamiento matemático creativo. Por otra parte, los retos del cálculo mental sin la debida orientación y preparación  pueden dañar de manera definitiva la autoestima personal del estudiante y  su rechazo hacia la Matemática, dando la FALSA impresión que para trabajar y crear en la Matemática hay que tener  cualidades por encima del promedio que tienen los seres humanos. Verdaderamente ha sido una pena.

Ese  comentario también fue borrado.

Desde hace años he visto las comparecencia televisivas de Yusnier así como  varias entrevistas y artículos sobre su persona y su extraordinaria habilidad en el cálculo de fechas siguiendo un conocido algoritmo,  pero también he visto como en esas ocasiones  se confunde  y tergiversa lo que es la Matemática y  lo que verdaderamente hay que desarrollar en los estudiantes: el pensamiento intuitivo y creativo de la Matemática.

El cálculo mental  es algo positivo  (sobre todo para impresionar al contar con una rápida mirada los tantos en las fichas de dominó al finalizar o ¨cerrarse¨ un juego) pero no esencial en la Matemática. El genial físico-matemático Henri Poincare (1854-1912), quien, entre muchos aportes, junto a Hendrik Lorentz (1853–1928) se acercó al descubrimiento de la Teoría de la Relatividad Especial o Restringida antes que Albert Einstein, en su artículo La creatividad matemática  confesaba que él  era  absolutamente incapaz de hacer una suma sin equivocaciones; Poincaré no aclaraba si esa incapacidad era cuando usaba  solamente la mente o cuando también usaba el papel y el lápiz. Sin embargo,  Poincaré poseía una intuición y una creatividad muy sobresaliente.

(Curso Básico de Cálculo Mental, libro de Yusnier Viera )

A continuación un fragmento de ese artículo de Henri Poincaré:

¨A menudo el matemático debe usar una regla: naturalmente ha empezado por demostrar esta regla; cuando esta demostración estaba fresca en su memoria, comprendía exactamente su sentido y su alcance y no corría el riesgo de alterarlo. Pero pronto la confía a su memoria y sólo la aplica de una manera mecánica y entonces, si la memoria le falla, puede aplicarla al revés. Es así, para tomar un ejemplo simple y vulgar, que a veces cometemos faltas de cálculo porque hemos olvidado la tabla de multiplicar.

De  acuerdo  con  esto,  la  aptitud  especial  para  las  matemáticas  se  deberá solamente a una memoria muy segura o bien a una fuerza de atención prodigiosa. Será  una  cualidad  análoga  a  la  del  jugador  de  whist  que  recuerda  las  cartas jugadas; o bien, situándonos en un nivel superior, a la del jugador de ajedrez, que puede visualizar un gran número de combinaciones y guardarlas en su memoria. Todo buen matemático deberá ser un buen jugador de ajedrez viceversa; deberá ser igualmente un buen calculador numérico. Ciertamente esto sucede algunas veces; Gauss era a la vez un geómetra de genio y un calculador muy precoz y muy seguro.

Pero hay excepciones, o más bien me equivoco, llamarlas excepciones ya que serán más numerosas que los casos conformes a la regla. Al contrario es Gauss quien era una excepcion. En cuanto a mí , debo confesarlo, soy absolutamente incapaz de hacer una suma sin equivocaciones. Igualmente será un jugador de ajedrez bastante malo; calculará bien que jugando de tal manera me expongo a tal peligro; revisará bastantes jugadas más, que descartará por otras razones y acabará haciendo el
movimiento examinado primeramente, habiendo olvidado en el intervalo el peligro que había previsto.

(Henri Poincaré)

En una palabra, mi memoria no es mala, pero será insuficiente para hacer de mí un buen jugador de ajedrez. ¿Por qué no me falla en un razonamiento matemático difícil en el que se perderían la mayor parte de los jugadores de ajedrez? Evidentemente porque está guiada por la marcha general de razonamiento. Una demostración matemática no es una simple yuxtaposición de silogismos, son silogismos colocados en un cierto orden, y el orden con que están colocados estos elementos es más importante que los mismos elementos. Si tengo el sentimiento, la intuición por decirlo así de este orden, de manera que perciba con una ojeada el conjunto del razonamiento, Ya no debo temer el olvidar uno de sus elementos, pues cada uno vendrá a situarse por sí mismo en el marco que tiene preparado y sin que tenga que hacer ningún esfuerzo memorístico

Una cosa es el show y el espectáculo  y otra es hacer ciencia; lo primero da en muchas ocasiones fama y dinero pues estamos en la época donde se practica rn rxceso la pereza mental y se sublimiza el entretenimiento ya sea  sea buscando ¨pokemones ¨ o participando en cualquier  otro entretenimiento de moda con el menor esfuerzo mental posible;   la  ciencia, sin embargo,  nuy pocas veces da fama y dinero,  aunque con ella  tampoco se llega al nivel de pobreza que tuvo en su época el genial algebrista Abel, quién murio  de hambre y frío.  Hay personas que se impresionan más con el ballet El Corsario por sus saltos y espectacularidad que, por ejemplo,  con Giselle o El lago de los cisnes  y  en este último no pocos de ellos solamente están esperando ver si la ballerina hace los  32 fuetés y  cómo  la ballerina ejecutó  ¨la vaquita¨ o el grado que alcanzó  en  sus ¨extensiones¨. Ambas piezas son ballets pero tienen sus grandes diferencias. En el cálculo mental de fechas mediante un algoritmo ya creado  hay muy poca Matemática y mucho de espectáculo.

Sí hay  Matemática en el siguiente cálculo mental del genio matemático autodidacta indio Srinivasa Ramanujan en una famosa anécdota  con el gran matemático G. H. Hardy, el creador de la estructura conocida como Espacios de Hardy; anécdota que tomé del diario español El País:

¨ Según una conocida anécdota, un día el también matemático G. H. Hardy le comentó que el taxi que acababa de tomar tenía como matrícula un número vulgar, el 1729. A lo que Ramanujan contestó que no, en absoluto, sino que era un número de gran relevancia: es el menor entero que puede ser expresado de dos maneras distintas como suma de dos números elevados al cubo:
1729 = 1³ + 12³ = 9³ +10³.

(Srinivasa Ramanujan)

Ramanujan tenía la capacidad de captar las estructuras subyacentes de los números. No tenía una mente matemática típica: prefería centrarse en los ejemplos significativos antes que en  construcciones más generales, obviando las demostraciones rigurosas. Esto chocó con la metodología de Hardy, a quien no le bastaba con ver, sino que necesitaba la cadena de silogismos que exige el método deductivo. Hardy conocía suficientes ejemplos de conjeturas ilustradas con pocos casos que luego resultaban falsas

En el prólogo de mi libro, quién muy gentilmente accedio a escribir  el Dr. Abel Castro Figueroa, se lee:

¨En la introducción a uno de sus libros, J. Dieudonné expresó que la intuición abstracta es muy necesaria a los matemáticos modernos. Desde luego, la observación es aplicable también a cualquiera que estudie una rama de las matemáticas modernas. Sin hacer explícita la diferencia entre la intuición más concreta, a la que tradicionalmente se refieren las personas, y esa intuición abstracta de que habla Dieudonné, que hemos experimentado de forma bastante natural quienes en algún momento estudiamos algo de matemática moderna, Pedro Pablo la maneja, la induce en los lectores y la propone para los estudiantes.¨

En mi libro  escribo:

Stanislas Dehaene, matemático francés con doctorado en Psicología Cognitiva, autor de El cerebro matemático, entre otros libros, y ganador (junto con Giacomo Rizzolatti y Trevor Robbins) del Brain Prize,  un relevante premio  relativo a las neurociencias, afirmó en marzo del 2016,  en  una entrevista publicada en elparana.com*.  bajo el título La Matemática, Una Disciplina Central Para Las Emociones Y El Aprendizaje, Según El Neurocientífico Dehaene: 

¨Otro aspecto importante es que a diferencia de lo que se cree a veces, todos los chicos empiezan siendo competentes para las matemáticas. Se los puede atraer mucho más a la matemática si se
combina la enseñanza de la disciplina con las intuiciones que traen de manera innata.

 (Stanislas Dehaene)

Los matemáticos desarrollan a veces un concepto errado de la matemática: muchos tienen una visión platónica y creen que es una disciplina que está ahí afuera en el mundo exterior y que hay que salir a descubrirla. Esto llevó a anomalías en su enseñanza, como la que implica enseñar conocimiento formal antes de estimular las intuiciones de los chicos. La matemática, en cambio, es una construcción progresiva y en tanto hazaña humana tiene errores. Si se les mostrara esto a los chicos, se sentirían mucho más cómodos y menos frustrados en el proceso de aprendizaje
¨.


La intuición y la creatividad son dos componentes importantes  a desarrollar   en los estudiantes pero  también hay otros importantes aspectos a desarrollar. En mi libro, después de dar ciertos ejemplos,  escribo:

Ejemplos como el anterior en el cual personas humildes y sin preparación académica contribuyeron al desarrollo de la Ciencia, se pueden usar para animar a los estudiantes para que comprendan que cada uno de ellos pueden aportar a la ciencia, aunque algunos aporten más y otros menos, y que en muchos casos el mayor o menor aporte depende más de la disciplina, la pasión, la perseverancia, el entusiasmo, la práctica deliberada y el trazarse un objetivo, que de un talento innato sobresaliente cuando ese talento no es aprovechado de manera eficiente; situación esta que se presenta, por ejemplo, cuando la persona no está enfocada en alcanzar un objetivo.

Esa es la razón por la cual la Teoría de los Constructos Personales del psicólogo norteamericano George Kelly tiene en mi libro un lugar relevante; quizás por encima de las teorías constructivistas de Piaget o de Vigotsky.

(George Kelly (1905-1967) )

En mi libro escribo:

La teoría de Kelly une en un mismo lenguaje áreas tradicionalmente separadas como son percepción, memoria, aprendizaje, pensamiento, lenguaje, moivación, emoción y personalidad (Feixas, 2001). George Kelly señaló que la Teoría de los Constructos Personales constituye una teoría tanto cognoscitiva como afectiva. Para Kelly los constructos (constructo proviene de la palabra construir) no son cosas que se encuentran solamente en la cabeza, ya que pueden mostrarse con la misma fuerza presencial en el corazón o en la voluntad. En esta teoría la voluntad es una fuerza motivadora que pone en marcha o conserva el avance de un proceso, aunque en él interfieran grandes obstáculos. En la Teoría de los Constructos Personales desempeñan un papel importante las necesidades, las motivaciones, las emociones y el aprendizaje, ya que ellos intervienen en el proceso constructivo y actúan en los niveles verbal, preverbal o no verbal; de ahí, que la lógica no es el único factor operativo que participa en el proceso de construcción.

Ya anteriormente en  mi libro había escrito:

En su experiencia de décadas como profesor, el autor de este libro ha observado que muchos profesores de Matemática muestran su asignatura como una disciplina ya acabada que posee un frío y rígido conjunto de conceptos, teoremas y técnicas que el alumno debe aceptar y aprenderse, sin saber mucho, o nada, sobre las razones que motivaron su creación o formulación así como las ventajas que proporciona conocerlos y dominarlos conceptual y técnicamente dentro y fuera de la Matemática. Es necesario que el profesor le trasmita a los estudiantes que la Matemática es una ciencia viva y en pleno desarrollo en la que determinadas personas derriban muros y barreras, abren nuevos espacios, construyen los cimientos y planos de nuevas edificaciones y caminos y colocan la piedra angular para expandir el alcance y la aplicación de la Matemática y de otras ciencias, así como la comprensión del mundo en que vivimos; mientras que muchas otras personas, y dependiendo de sus capacidades, esfuerzos y condiciones de vida, ayudan modestamente a recoger los escombros, desbrozar los nuevos espacios, terrenos y caminos, así como también en la colocación de ladrillos, la aplicación del resano, la pintura, el acabado, la compactación de los caminos y su pavimentación en la construcción de nuevas teorías y aplicaciones, donde otros, como ya se ha señalado, han construido los cimientos y colocado la piedra angular. Tanto unas personas como otras son importantes para avanzar con seguridad y buen paso en la construcción de esas nuevas teorías y aplicaciones. En la Matemática hay trabajo por hacer tanto para personas especialmente dotadas, como para aquellas personas de talento promedio. El autor de este libro no comparte la expresión de Henri Poincaré: «Los matemáticos nacen, no se hacen», pues hay matemáticos que nacen; hay otros que se hacen; los que nacen, y nunca se hacen, son los genios matemáticos. Pero aún entre los genios matemáticos se manifiesta lo planteado en este párrafo. El matemático Herbert W. Turnbull escribió lo siguiente sobre la obra de Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) y la incidencia que ella tuvo en otros matemáticos:

«...Gran parte de la obra contemporánea y posterior de Laplace, Legendre, Monge, Fourier y Cauchy fue el resultado de su inspiración. Lagrange esbozó el diseño; dejó a los demás la tarea de 
completar el cuadro acabado. Uno debe volverse hacia los historiadores de las matemáticas para saber cuán total y completamente se realizó esto.» (Turnbull, 1984, p.168)

Finalmente,  en mi libro señalo:

No aclarar esas cosas, y muchas más, sería «apabullar» al estudiante sembrándole un sentimiento de impotencia y frustración, pues hay que prevenir al alumno promedio y a los menos talentosos, de que para llegar en Matemática a captar la esencia que encierra un concepto (y también muchos resultados) hace falta poseer un decidido interés por alcanzar esa esencia, así como cierto tiempo de discernimiento y maduración; y con ellos: interés y discernimiento, la luz sobre esa esencia se irá abriendo paso en sus mentes, pero que una vez que se hayan apropiado de esa esencia, tendrán la gran retribución de que ella permanecerá en sus mentes para toda la vida; además, son muy recomendables estas palabras del Doctor Abel R. Castro Figueroa en la Lectio Brevis que ofreció en el ITESO de la ciudad de Guadalajara, México:

«Si alguna vez se sienten desanimados, o les flaquea la voluntad, díganse: voy a cumplir mi deber al menos esta vez. Esa oportunidad en que logren vencer la pereza o la indolencia, traerá consigo las otras, y a la larga verificarán en su persona el antiguo proverbio persa que dice: Siembra un acto, y cosecharás una costumbre; siembra una costumbre, y cosecharás un carácter; siembra un carácter; y cosecharás un destino.» (Castro, 2000, p. 7
)

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Published on Oct 8, 2015
Yusnier Viera does a demonstration of calendar dates for the Superhuman Showdown of Discovery Channel. Later, Viera explains his algorithm. Scientists looked inside his brain through a FMRI brain scan and the results were analyzed. In contrast to the norm, Yusnier also draws on the frontal lobe highest

Yusnier Viera - Superhuman Showdown - Brain Power.

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ÍNDICE GENERAL 


Prólogo
Prefacio. (21)
Introducción. (27)        

CAPÍTULOS

Capítulo I. Algunos elementos sobre el estado actual de la enseñanza y del aprendizaje de la Matemática
 
§1. Elementos relativos al pasado y pasado-reciente. (39)
§ 2.Elementos concernientes al presente. Exámenes PISA y TIMMS. Un breve análisis de sus resultados. (42)
§ 3. Dos opiniones concernientes a la enseñanza universitaria. (47)

Capítulo II. Los efectos negativos de la corriente formalista y de la matemática moderna en la enseñanza y en la intuición matemática
 
§ 1. El abuso y mal uso de la corriente formalista en el proceso de enseñanza–aprendizaje y la oposición de Maurice Fréchet. (51)
§ 2. Intuición, creación y rigor en la Matemática. (55)

Capítulo III. La Matemática, una disciplina en la que hasta los más geniales a veces se equivocan. Anécdotas para estudiantes desconcertados o apabullados por la enseñanza de la Matemática 

§ 1. Factores personales y sociales que inciden en el alcance de logros científicos personales y en el desarrollo de las ciencias. (61)
§ 2. Sobre conjeturas matemáticas y el comportamiento impredecible del cerebro humano ante ellas. (65)
§ 3, El largo y tortuoso camino de la creación, la formulación y la  demostración en la Matemática,  que no se encuentra en los textos. (70) 

Capítulo IV. La  subvaloración  de las ciencias pedagógicas           

§ 1. Pedagogía, Didáctica y Psicología  empíricas. (73)
§  2. En defensa de la Pedagogía como ciencia. (76)

Capítulo V. Los cimientos de la Matemática y su carácter empírico
 
§  1. La Matemática: un sólido,  bello y funcional edificio de envidiable arquitectura que tiene cimientos de dudosa consistencia. (79)
§  2. La consistencia de los cimientos de la Matemática a la luz de los desconcertantes resultados de Kurt Gödel y Paul Cohen.  (85)
 
Capítulo VI. El proceso de enseñanza-aprendizaje y sus componentes   

§  1. El proceso de enseñanza-aprendizaje. (91)
§ 2. La Didáctica y sus leyes fundamentales. Algunos principios didácticos generales. (95)
§  3. Algunos principios didácticos sobre la enseñanza de las ciencias. (99)
§  4. La interdisciplinaridad relativa a la enseñanza. Su importancia en el proceso de enseñanza-aprendizaje. (100)
§  5. Los componentes didácticos del proceso de enseñanza-aprendizaje. (103)
1. Los objetivos (103). 2. El contenido (104). 3. El método (114). 4. Los medios (119). 5. Formas de organización (120). 6. La evaluación (120).

Capítulo VII. Los procesos de adquisición del conocimiento matemático y la Psicología

§ 1. La Pedagogía, la Psicología   y  el estudio de los procesos cognitivos (123).
Paradigma Psicoeducativo Conductista (126). 2. Paradigma Psicoeducativo Cognitivista (129). 2.1 Piotr Y.  Galperin (133). 3. Paradigma Psicoeducativo Constructivista (134). 3.1.  Teoría de las Múltiples Inteligencias de Howard E. Gardner (140).  3.2. Teoría del Aprendizaje Significativo de David. P. Ausubel (141). 3.3.  Teoría de los Constructos Personales de George Kelly (145).  4. Paradigma Psicoeducativo Histórico-Cultural. Lev S. Vigotsky (153). 5. Paradigma Psicoeducativo Humanista. (160)
§ 2. Los procesos de adquisición del conocimiento matemático. Algunas características de la Matemática atractivas para  la psicología de la enseñanza (168). La Gestalt  y la enseñanza de la Matemática (171). 2.  La teoría de Piaget y la enseñanza de la Matemática (172). 2. 1.  Período de operaciones concretas (173).2.2.  Período de operaciones formales (176). 2.3. El mecanismo intra-inter-trans (177). 2.4.  Cuestionamientos sobre el pensamiento formal (178). 2.5. Algunas otras observaciones críticas sobre la aplicación de la teoría de Jean Piaget  a la educación. (179)

Capítulo VIII. Breve especulación sobre el futuro del proceso de enseñanza-aprendizaje con relación al  desarrollo de las neurociencias y las tecnologías.   (181)
 
Capítulo IX. Algunas características que debe tener el profesor de Matemática para alcanzar  un mejor desempeño en el proceso de enseñanza-aprendizaje. (187)
 
Capítulo X. Sobre el Análisis Funcional  y su importancia. (191)
 
Capítulo XI. Últimas observaciones antes  de exponer la propuesta metodológica. (195)
 
Capítulo XII. Introducción metodológica de algunos conceptos del Análisis Funcional. (199)     

§  1. Distancia definida en un conjunto. Espacio métrico. (200)
§  2. Bolas abiertas y bolas cerradas. (204)
§  3. Diámetro de un conjunto. Conjunto acotado. (205)
§  4. Sucesión encajada de conjuntos. (206)
§  5. Conjunto abierto. (206)
§  6. Conjunto cerrado. Clausura de un conjunto. (208)
§  7. Funciones abiertas y funciones cerradas. (210)
§  8. Sucesiones de Cauchy. Espacio métrico completo. (212)
§  9. Conjunto denso. Espacio separable. (214)
§ 10. Conjuntos nunca densos. Conjuntos de categoría I  y Conjuntos de categoría II. (216)
§ 11. Isometría. Espacios isométricos. Completamiento de un espacio métrico.  Distancias  semejantes. (221)
§  12. Aplicación contractante. (225)
§  13. Homeomorfismo. Espacios homeomorfos. (229)
§  14. Conjuntos y espacios métricos compactos. Caracterizaciones. (232)
§ 15. Conjunto relativamente compacto. Familia equiacotada y equicontinua de funciones. (237)
§  16. Espacio métrico conexo. Conjunto conexo. (241)
§  17. Distancia compatible con la estructura vectorial. (245)
§  18. Norma. Espacio normado. (247)
§  19. Ejemplos sobre la necesidad de estudiar los operadores lineales continuos  entre dos espacios normados. (250)
§  20. Operador lineal acotado. Norma de un operador lineal  acotado. (261)
§  21. Funcional lineal continuo. Dual topológico o espacio conjugado de un espacio normado. (268)
§  22. Segundo espacio conjugado de un espacio normado. Espacio normado reflexivo. (270)
§  23. Conjunto convexo en un espacio vectorial. (272)
§  24. Funcional de Minkowski respecto a un conjunto convexo de un espacio normado. (275)
§  25. Operador lineal cerrado entre dos espacios normados. (281)
§  26. Producto escalar definido en un espacio vectorial. Espacio euclidiano. Espacio de Hilbert. (286)

Capítulo XIII. Introducción metodológica de algunos resultados del Análisis Funcional

§ 1. Unicidad del límite de una sucesión  convergente en un espacio métrico. (293)
§  2. Convergencia de una sucesión de Cauchy que tiene una subsucesión convergente. (294)
§ 3. Teorema de intersección de George  Cantor: una caracterización de espacio métrico completo. (294)
§ 4. Teorema de categoría de Baire: una condición necesaria para que un espacio métrico sea completo. (297)
§ 5. Teorema del punto fijo para aplicaciones contractantes definidas en espacios métricos completos. (302)
§  6. La relación de isometría entre espacios métricos conserva la completitud. (308)
§  7. Invarianza de la compacidad ante las funciones continuas. (309) 
§  8. Invarianza de la conexidad ante las funciones continuas. (309)
§  9. Continuidad de la aplicación norma. (310)
§ 10. Teorema de la existencia del elemento de la mejor aproximación para un subespacio vectorial de dimensión finita de  un espacio vectorial normado. (311)
§  11. Todo espacio vectorial normado de dimensión finita es completo. (313)
§  12. Extensión de  funcionales lineales. (316)
§  13. Teoremas de  Hahn-Banach.  Algunas versiones en la forma de extensión. . (318)
§ 14. Vínculos entre hiperplanos, separación de conjuntos y funcionales lineales continuos en espacios normados. (337) 
§ 15. Algunas versiones  de  los teoremas de  Hahn-Banach  en la forma geométrica. Teorema de Mazur. Teorema de separación de Eidelheit. (345)
§ 16. Convergencias en L(E, F). Teorema de Banach-Steinhaus. (351)
§ 17. Lema de la imagen de la bola unidad abierta. (367)
§ 18. Sobre la existencia del operador inverso de  un operador lineal y acotado. Teorema de la aplicación abierta. (377)
§ 19. Teorema del grafo (o gráfico) cerrado. (383)
§ 20. Continuidad del producto escalar en un espacio euclidiano. (389)
§ 21. Teorema  de  representación de Riesz para espacios de Hilbert. (392)

Anexos. (403)
Bibliografía. (447)
Índice alfabético de autores. (477)
 

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